Exemples d'étude des variations d'une suite

Exemple 1

Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n=5n+1\).
On veut étudier ses variations. Pour ce faire, il suffit d'étudier le signe de la différence \(u_{n+1}-u_n\).

Étape 1. Calcul des termes
Pour tout \(n\) entier naturel, on a :
\(u_{\color{teal}{n}}=5\times\color{teal}{n}+1\).
Calculons \(u_{n+1}\) :
\(u_{\color{red}{n+1}}=5\times(\color{red}{n+1})+1=5n+5+1=5n+6\).

Étape 2. Calcul de la différence
Pour tout \(n\) entier naturel, on a :
\(u_{n+1}-u_n=5n+6-\color{red}{(}5n+1\color{red}{)}=5n+6-5n-1=5\)

Étape 3. Interprétation et conclusion
\(5\geqslant0\) donc, d'après la définition d'une suite croissante, \((u_n)\) est croissante.

Exemple 2
Soit \((v_n)\) la suite définie par :  \(\begin{cases}v_0 = 2 \\ \text{Pour tout entier naturel} \ n,​ v_{n+1} = v_n-3 \end{cases}\).
Pour tout \(n\) entier naturel, on a :
\(v_{n+1} = v_n-3\) et \(v_{n+1}-v_n=v_n-3-v_n=-3\) et \(-3\leqslant0\).  

Ainsi, la suite \((v_n)\) est décroissante.